下面是小编为大家整理的会议筹备,供大家参考。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 宋丽丽
2. 邹建华
3. 黄辉英
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组
日期： 2010年 8 月 26 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
会议筹备的最优化方案
摘要:
本文是根据题目所提供的信息，在本届与会代表人数不确定的情况下，从经济、方便、代表满意等方面考虑，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
分别建立5个模型。模型一将数据拟合建立一次线型方程y=at+b和二次线型回归方程y=at^2+bt+c,用回归模型预测本届出席人数为639人，然而要提高与会代表的满意度，就应使本届出席人数多于639人，所以我们利用置信空间得出应增加24人，即本届出席人数应为663人。
模型二，模型三和模型四，分别以满意度为主导因素、以经济为主导因素、以便利为主导因素，分别建立目标规划模型，制定宾馆和客房的预定方案，使宾馆的间距小且数量少，得出预定的宾馆为①，②，⑥，⑦，⑧。
模型五是根据选择的宾馆和参加分组会议的情况，建立最优化模型，得出选择的会议室为②，⑥，⑦，在②租借了的2间规模为130的会议室，在⑥租借了1间规模为160的会议室，在⑦租借了1间规模为200和2间规模为140的会议室，同时租用了10辆座位数为45和3辆座位数为33的客车。
关键词：线性拟合优化模型目标规划模型
1
问题重述
基本背景：某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会
议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。
基本信息：筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数
据见附表1。
根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。
需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。
基本要求：为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。
一、问题的提出
通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房，租借会议室，租用客车的合理方案。要制定方案就要求我们解决如下问题：
问题1：预测本届与会代表的数量。
问题2：确定需要预订各类客房的数量。
问题3：从满意度、经济、便利等方面考虑，确定在哪些宾馆预定客房及预定各类客房的数量。
问题4：以便利程度最优为标准，确定在哪些宾馆预定哪些类型的的会议室。
问题5：以费用最低为标准，确定租车的规格和数量。
二、问题的分析
2
解决问题1可根据附表3的的数据对本届与会代表的数量进行预测。
而解决问题2，应先注意，预定客房数超过实际用量时需支付一天空房费；而预定不够则将引起代表得不满，所以要要用适当的数学表达式加以量化。然后根据附表2中各类数据的比例，得到预定客房的数量。
问题3在考虑满意度、经济、便利、的情况下预定的宾馆总数应尽量少、距离上尽量靠近。所以应建立优化模型，根据个宾馆的实际情况做出决策。
问题4和问题5应考虑租用会议室和客车的费用尽量小，会议室所在宾馆的总数尽量少，距离上尽量靠近。可建立优化模型，根据会议室和客车的规格和数量得出方案。
三、符号说明(不区分字母的大小写)
为了便于描述一些问题，我们用符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表3.1所示，其他一些变量将在文中陆续说明。
表3.1 符号的说明
符号说明
y每届代表回执的人数与实际人数的关系
t每届代表回执的人数
每宾馆在（i）价位段拥有房间最低价位
Dij
各宾馆在(i)价位段所能容纳人数的极限值。
i
F
,(j
)
i代表六种不同住房的要求。
j6种不同要求的所住人数
c0-1变量表示第i个宾馆的第j种房间是否被合
i
,(j
)
住的预订
)
z0-1变量表示第i个宾馆的第j种房间是否被独
i
,(j
住的预订；
x表示第i个宾馆的第j种的总间数；
i
)
,(j
y表示预订第i个宾馆的第j种客房每天的费用；
i
,(j
)
d表示第i个宾馆的第j种合住客房的数目
i
,(j
)
g表示第i个宾馆的第j种独住客房的数目
i
)
,(j
i
s表示第i个宾馆到第j个宾馆的距离；
,(j
)
q表示第i个宾馆的第j种所剩余的客房数目
i
,(j
)
3
4
；
四、模型的假设
1、假设筹备组统计的数据误差小，对预测结果没有影响。
2、假设会议期间没有任何意外情况发生。
3、假设实际与会代表的男女比例与代表回执中的男女比例相同。
4、假设未发回执与会的代表对房间的不同要求的比例与代表回执中的房间要求的比例相同。
5、代表的住宿要求要尽可能被满足，如果要求住某一价位单人间的代表的人数超过宾馆能提供的能力，将其分配一个同等价格区间的双人间让其一人单独居住。
6、会议室在预定的宾馆内。
7、宾馆的距离在一定范围内的不需要接送。
五、 模型建立与求解
（一）模型一 求解实际与会代表人数
用MATLAB 软件对以往四届发来回执的代表数和实际的与会人数进行拟合，并对其进行一次线性方程y=at+b ，二次线性方程y=at^2+bt+c 的拟合，并将每届回执人数带入模型，检验其与各各届实际到达人数是否吻合见附录（房间fj1）。 表1以往几届会议代表回执和与会情况
第一届 第二届 第三届 第四届
发来回执的代表数量 315 356 408 711
实际与会人数 283 310 362 602
求得函数为:
9620.268096.0+=t y ……………………(1.1)
根据得到的函数，做出图像： ,(j i f 表示第i 个宾馆的第j 种会议室的租借价格 ),(j i k 表示第i 个宾馆的第j 种会议室是否要租用 i g 表示第i 个宾馆的预订的会议室的数目 i h 表示第i 个宾馆所住的会议代表人数 i d 表示第i 种客车的座位数 i b 表示第i 种客车被租用的费用 表示所预订的会议室的规模的最小值。
5
300
350400
450500550600650700750
250300350400450500550
600
650每届回执的代表数
实际与会的代表的数
图一 发来回执代表与实际与会代表关系图
将t=755代入一次函数，得到此届与会代表人数为639人。 同理用二次函数拟合得到此届与会人数为677人。综合图像分析一次函数拟合度较好，故根据我们的模型暂定实际与会人数为639人。由于要考虑会议代表的满意度，因此本届预测的与会总人数应该要大于实际的预测值（即多于639人），根据求得预测值在93%的置信区间内，取预测发来回执但未与会的代表数量的置信区间的最小值，未发回执而与会的预测代表数量的置信区间的最大值，得出应该增加24人，即本届与会人数最终确定为663人。 （二）求解各类客房预订的数量
由于发来回执的人数与实际出席会议的人数不同，所以只能根据附表2中所提供的（本届会议代表回执中有关住房要求）信息，按照一定的比例估算出各类客房的实际数量。 计算方法： 引入比例系数
比例系数=本届实际与会人数／发来回执的代表数，即663／755=0.8781
按此比例将原表2中每个数据乘以0.8781，得到的数据都取为整数，小数部分不足0.5也都补1。得到新表3
表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）
第一届 第二届 第三届 第四届 发来回执的代表数量 315 356 408 711 实际到达的代表数量
283
310
362
602
6
表3本届与会代表住房实际要求信息表（单位： 人）
合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3
男 136 92 28 94 60 36
女 68 42 15 52 24 16
合计房间 102 67 22 146 84 52
（三）模型二 以满意度为主导因素求解代表入住的宾馆
对于问题三的求解，我们是根据上表计算出的与会代表住房要求，将代表们的满意度放在第一位，这不仅可以使参会代表在开会期间能保持愉悦的心情，还可以促使工作的积极性。
（1）检验满意度的目标函数：
∑→→===10
6
1
1
)()(j i j i ij D ij x y ……………(2.1)
（2）约束条件：
⎪⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈≤=+====∑N j i F j i F j i x j i x i z i j j i ),(),(),(),,()(61011
…………………(2.2)
根据题目要求对附表1进行分析，在满足与会代表住房要求下，以满足各代表价格意愿为前提，选择宾馆内价格最低的客房。我们得到两个矩阵（见附录）
3.用lingo 对上面的模型进行最优化（其程序见附录lingo ），选出9个宾馆，分别为①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧,⑨。安排情况如下表： 表4：会议代表宾馆住房信息
宾馆号 合住1 合住2 合住2 独住1 独住2 独住3
① 0 70 0 0 30 20
② 70 0 0 0 0 0
③ 0 0 0 27 0 0
④ 32 0 0 0 0 0
⑤ 0 0 0 79 0 0
⑥ 0 67 22 0 30 0
⑦ 0 0 0 40 0 2
⑧ 0 0 0 0 24 0
⑨ 0 0 0 0 0 30
如表所示以满意度为主导因素筛选出的代表入住宾馆数量很多有九个，且各宾馆间的距离远，同经济和便利程度严重相悖，是不理想的方案。
7
（四）模型三 以便利程度为主导因素求解代表入住的宾馆
为了便于管理和方便，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。因此首先把会议代表集中在某几家符合会代表住房要求宾馆中，且这几家宾馆比较靠近。
根据以上分析，以会议代表对6类不同客房的需求量为约束条件，建立目标函数：第一层目标函数求最小宾馆数：
10
1m in ()i a i ==∑ ………………………(3.1)
第二层目标函数使选择的宾馆比较靠近：
1010
11
m in ()()(,)i j a i a j s i j ===∑∑ ………………(3.2)
约束条件：
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≥≤≤≥∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑============10
121101*********
16310
1
6310
1
63)
300),(201(52),(),()()200),(161(84),(),()()160),(120(146),(),()()300),(201(22),(),()()200),(161(67),(),()()160),(120(102),(),()(i j i j i j i j i j i j j i y j i q j i c i a j i y j i q j i c i a j i y j i q j i c i a j i y j i x j i c i a j i y j i x j i c i a j i y j i x j i c i a （3.3） ⎩
⎨⎧<≥-=3),(3),(),(),(j j i x i j i d j i x j i q ...............（3.4）
对上约束条件说明：i =[1，2， 3...10] 表示10个宾馆，j =[1,2,3...6]表示10个宾馆的所有客房可以分成6类（见表3），其中j =1，2时为单人间，
j =3..6时为双人间。
第一个约束条件表示合住1预订第i 个宾馆的第j 类房间时()a i =1，(,)c i j =1所订数量要大于或等于实际合住1的需求量102，另外5个合住2，合住3，独住1，独住2，独住3的约束条件，(,)q i j 确保第i 个宾馆第j 类客房双人间不会被合住类和独住类同时预订。
8
运用lingo 软件编程(附录lingo2),在编程的时把第二层的目标函数做为约束条件，结果是会议代表集中在①、②、⑥、⑦和⑧这5个宾馆中。
（五）模型四 以经济为主导因素求解代表入住的宾馆
根据上面得出的5个宾馆，进行优化预订宾馆客房，在满足与会代表的要求下，使得所预订宾馆客房的费用最小。
以会议代表对6类不同客房的需求量为约束条件，利用目标规划建立了使得预订宾馆客房费用最小目标函数：
56
11
m in ((,)(,))(,)i j c i j z i j y i j ===+∑∑ ................（3.5）
约束条件：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤≥≤≤≥≤≤≥=≤≤≥≤≤≥≤≤≥∑∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑================5
121
5
1
21512151215
1635
1
635
1
635
1
63282),(),()300),(201(52),(),()200),(161(84),(),()160),(120(146),(),(191),(),()300),(201(22),(),()200),(161(67),(),()160),(120(102),(),(i j i j i j i j i j i j i j i j j i g j i z j i y j i q j i z j i y j i q j i z j i y j i q j i z j i d j i c j i y j i x j i c j i y j i x j i c j i y j i x j i c ........（3.6） ⎩
⎨⎧<≥-=3),(3),(),(),(j j i x i j i d j i x j i q ................（3.7）
对上约束条件的说明：i =[1,2,3…10]表示10个宾馆，j =[1,2,3..6]表示10个宾馆的所有客房可以分成6类（见表3），其中j =1，2时为单人间，j =3..6时为双人间。前四个约束条件表示合住1，合住2和合住3预定双人间客房约束，第四个约束条件表示合住1，合住2和合住3总共双人间客房数为191。后四个是独住1，独住2和独住3预定单，双人间客房约束。(,)q i j 确保第i 个宾馆第j 类客房双人间不会被合住类和独住类同时预订。
运用lingo软件编程（见附录lingo3）得出预订宾馆客房费用为96000元/天和会议代表宾馆住房信息表5.
表5：会议代表宾馆住房信息
宾馆代号规格间数合住1合住2合住3独住1独住2独住3
①普通双标间50
0000500商务双标间30
0022007普通单人间30
0000300商务单人间20
0000020
②普通双标间50
21002900商务双标间35
3400000豪华双标间
A
30
0290000豪华双标间
B
35
000000
⑥普通单人间40
0004000普通双标间40
0380000商务单人间30
000040精品双人间30
0000025
⑦普通双标间50
4700000商务单人间40
0004000商务套房（1
床）
30
000000
⑧普通双标间
A
40
000000普通双标间
B
40
0003700高级单人间45
000000合计66510267221468452
根据表5中每个宾馆的预订的房间数，可以计算出在每一个宾馆内住的会议代表的数量（见表6）。
表6：每个宾馆的会议代表人数
9
10
① ② ⑥ ⑦ ⑧ 会议代表人数 151 197 145 134 37
从表5中可以看出：将会议代表安排在①、②、⑥、⑦和⑧这5个宾馆中都满足会议代表的要求。同时也可以看出各个宾馆的客房的预订情况。如可以知道①宾馆普通双标间50间全部预订为独住2，商务双标间30间预订为合住22和独住7，普通单人间30间全部预订为独住2，商务单人间20间全部预订为独住3。
将表4（模型二的求解结果）和表5（模型三和模型四的求解结果）进行对比，明显发现虽然表4体现的满意度高，但是表5却在经济和便利方面占了明显的优势，并且表达出了表4中没有的客房规格，比表4更加详细，更加明了。
所以将模三和模型四的求解（表5）作为宾馆预定及各类客房数量预定的最终方案。
(六)模型五 预定会议室，确定租车的规格和数量
以前面预测的实际出席人数663人，和制定的宾馆预定及各类客房预定的方案为前提进行分析。题目并未告知哪些代表准备参加哪个分组会，因此每个会议代表参加每个分组会的可能性相等，从概率知识的角度，我们可以得出每个代表参加每个分会的概率是1/6，服从两点分布。但同时也不知道6个分组会议对每个会议代表的重要性，为了每一个会议代表去每一个会议室都有座位的满意度为95%，因此要保证所选择的会议室的规模要大于或等于a 。根据概率论的相关知识，我们判定与会的代表人数服从二项分布，根据如下伯努利大数定理：
定理1.1（伯努利大数定理）设n μ为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，
p 为每次试验中A 出现的概率，则对任意的0ε>，有
lim {||}1n n P p n με→∞-<= ...............（定理1.1） 与会代表中参加6个分组会议的的总人数为663，显然由二项分布的期望和方差我们有5.110)(==np x E ,var(x)=np(1-p)=92.083，为了保证估计的准确性，作均值的区间估计时，选择置信水平为93%，。根据如下地棣莫弗—拉普拉斯极限定理：
定理1.2 （棣莫弗—拉普拉斯极限定理）设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为(01)p p <<，记n μ为n 重伯努利试验中事件A 发生的次
数，且记
*n u np
Y npq -= ....................（定理1.2） 则对任意实数y ，有
2*21lim ()()2t y
n P Y y y e dt π--∞→∞≤=Φ=⎰ .............（3.8）
根据以上两个定理，建立起求所要租用的会议室的规模：
%93)(=
11
即
1.645a np npq
-=....................................（3.9）
解得 a =126.28。
因此在5个宾馆中要选择规模为a =127人以上的会议室,才能保证使每一个会议代表参加每一种的会议的满意度达到95%。
筹备组需在已知的集中5宾馆中选择6会议室，每个宾馆有不同规模不同价格的会议室。然而要使会议的满意度为93%，则应该使所租借会议室的规模在129人以上。同时筹备组在租用客车，而汽车公司为他们提供了3种类型的客车，座位越多的客车，租用费用越多。考虑这会每种议室和客车的租用的费用都比较大而且比较接近，可以将这两种经济费用合并在一起求最小。 建立租借宾馆会议室和租用客车总和最小目标规划模型：
5
9
1
1
2233415263718293
1
1
101112123131142153
m in (,)(,)i j k i j f i j n d
n d n d n d n d n d n d n d n d n d n d n d n d n d n d ===
+++++++++++++++∑∑
............................................................（3.10） 约束条件：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨⎧++≤-++≤-++≤-++≤-++≤-≥==∑∑∑∑∑∑======b n b n b b n b n b b n b n b b n b n b b n b n b n h g n h g n h g n h g n h g j i m j i k j i k i g j i k i j i j i j 3
152141
13513
1221111041
3
9281731
36251421
33221111519
15191519
1
6
666666666127),(),()
,()(6),(........................（3.11）
（注： 1...15i n i =：表示为15个变量且为整数，用来记录各个宾馆的需要安排三种客车的数目，每个宾馆要3个这样的变量。如1n ，2n ，3n 分别表示①宾馆要安排三种车的数目。j =1..9表示以选择的5个宾馆会议室的编号）
使用lingo 软件编程时，在只知道每个宾馆所住的人数和会议室的规模、个
数、价格时进行优化约束条件设计时，遇到了一系列的难点，首先有些宾馆中有多个一样的会议，在用0-1变量去记录时，会出现取了一次后，就不能再取。因此可以将相同的宾馆认为进行标号，使之不同。第二要记录每个宾馆的已经预订
的会议室的数目，这样就能知道该宾馆有多少代表要出去参加会议，设置了
i
g用
了记录的第i个宾馆的预订的数目。接下来就要从三种车选择费用最小的车来接
送，设置了
i
n整数变量15个，用来记录每个宾馆租用每种客车数量。
根据以上模型，求解出租借宾馆会议室和租用客车的总花费为15000元/半天，具体租借宾馆会议室和租用客车的结果如下表7：
表7：租借会议室和租用客车
宾馆会议室客车
代号规模间数价格（半天）类型辆数
①45座2 33座2
②1302100045座3⑥1601100045座3
⑦140280045座1 2001100033座1
⑧45座1
从表7中可以看出：在②宾馆租借了的2间规模为130的会议室，在⑥宾馆租借了1间规模为160的会议室，在⑦租借了1间规模为200和2间规模为140的会议室，总共租用了10辆座为45座和3辆为33座的客车。
结果分析：对照宾馆的分布图，可知①在②和⑦之间，⑥在⑦旁边，⑧在⑦的正对面，可知①、②、⑥和⑧都在⑦旁边，因此会议室设在⑦对住在周边宾馆的会议代表来说都是很方便的。同时在⑦租借了3个会议室，总规模是能480，能够容纳较多的会议代表，满足会议代表，其中规模为140的会议室价格是最便宜的，能够较经济、实惠地解决费用问题。
在解决了与会代表的住宿问题，安排了开会的地方后，没有了后顾之忧，代表们就可以安心开会了，那日程的安排也同样重要，会议日程的安排如下：
表8 会议日程
日期时间会议安排地点
8月
25日（上午）7:00—8:00 早餐时间
各代表们
所住的宾
馆8:40—9:00
租用的客车接代表（需要用客车接
的
）到会场开会，
12
13
6个分组的会议室
9:00—9:15 会议开幕式
9:20—10:00
由各分组组长做宣布本次会议讨
论的主体
10:00—10:40 讨论时间 10:00—10:20 会间休息
10:20—12:00
专题讨论全国范围内所存在的环
境问题 12:00—12:30
午餐时间
每位代表
所住宾馆的餐厅 12:30—2:00
午休
每位代表
所住的宾
馆
8月 25日
（下午）
14:00—14:40
专题讨论环境问题日趋严重给我
们的生活得到带来的危害 6个小组
各会议室 14:40—15:00
中国联合世界各国就环保问题发
表宣言建立环保联盟
15:00-15:20
中共环保局局长就环境如何改善
做专题发言
6个小组各会议室
15:20—16:20
会议休息
专题讨论如何把环保意识全民化
18:30—19:30
每组人一起聚餐
七、模型的评价
优点：①兼顾了经济、满意度、便利三方面，统筹了预定宾馆客房、租借会议室、
租用客车三个要求提出合理方案，准确性高。
②我们的问题都通过了编程来解决，体现了建模的科学合理性。
③运用了表格进行数据统计，使得问题更简洁、易懂、直观。
④在此会议筹备建模中，采用线性规划和多目标函数处理，可以在现实生活中得到广泛的运用。
缺点：①一些数据中，我们对数据进行了必要的处理，如：取整数据，这些方法可能会带来一定的误差。
②模型虽然考虑到了很多因素，但是为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入
八、模型的推广
该模型可用于不同场合的人数预测、房间预定、车辆调度等，如接待旅游团、不同规模的聚会、新学期新生接待等筹备问题。
参考文献
[1]全国大学生数学建模竞赛组委会，数学建模的实践：2006年全国大学生数学建模夏令营论文集，北京：高等教育出版社，2007.8
[2] 姜启源，《数学模型》，北京：高等教育教育出版社，2003.
[3] 吴建国，《数学建模案例精编》，北京：中国水利水电出版社，2005.
[4] 张志涌，《精通MATLAB6.5版》，北京：北京航空航天大学出版社，2003.
[5] 谢金星，刑文训.《优化建模与LINGO/LINGO软件》,北京：清华大学出版社2005.
[6] 冷四军，刘亚中，胡兵，《2009年全国数学建模竞赛一等奖论文》，江西：江西理工大学应用科技学院。2009.9
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附录：
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