全等三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．
重点：
理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；
三角形全等的性质和条件．
难点：
掌握用综合法证明的格式；
选用合适的条件证明两个三角形全等．
学习策略：
通过操作，画图，观察，比较，交流在条件由少到多的过程中逐步探索出三角形全等的条件，并结合三角形的有关要素和性质、全等图形的特征和已知条件的基础上创造两个三角形全等成立的条件．
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（一）三角形有 要素，其中有 条边， 个角；
（二）三角形的内角和是 度；
（三）三角形的三条 、 、 交于一点；
（四）三角形的外角和是： ．
知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
知识点一：全等形
能够完全重合的两个图形叫 ．
知识点二：全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫 ．
知识点三：对应顶点，对应边，对应角
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 ．
知识点四：全等三角形的性质
全等三角形对应边 ，对应角 ．
知识点五：三角形全等的判定定理
（1）三边对应相等的两个三角形全等．简写成“ ”或“ ”；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简写成“ ”或
“ ”；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．简写成“ ”或“ ”．
知识点六：直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“ ”或“ ”．
经典例题-自主学习
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．
类型一：全等三角形性质的应用
例1．如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角．
思路点拨：AB=AC， 和 是对应边， 是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是 可求解．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE，问线段AE和CD相等吗？为什么？
【变式2】如下图，，．
求证：AE∥CF
例2．如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长．
思路点拨：由全等三角形性质可知：∠DFE=______，EC+CF=BF+_____，所以只需求
∠ACB的度数与BF的长即可．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°．
求证：（1）CD⊥AB；
（2）EF∥AC．
解析：
类型二：证明两个三角形全等
例3．如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．
思路点拨：欲证 ，由已知可知已具备 ，由公理的条件判断还缺少这角的 ，可通过 而得．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC
答案：
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．
求证：AF＝DE．
答案：
类型三：综合应用
例4．如图，AD为ΔABC的中线．求证：AB+AC>2AD．
思路点拨：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以
AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出．由2AD想到构造一条线段等于 ，即倍长中线．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
☆【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，
CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE．
答案：
例5．如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：（1）AE＝CF
（2）AE∥CF
（3）∠AFE＝∠CEF
思路点拨：
（1）直接通过△ABE≌____________而得．
（2）先证明∠AEB＝__________．
（3）由（1）（2）可证明△AEF≌________而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个____________然后证明它们全等．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
☆【变式】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，
求证： AF＝AG．
答案：
例6．如图， 在△ABC中AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
思路点拨：若得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌_______，而要证AD=____，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知________，∠BAC是_______，可证得Rt△ABD≌____________．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．
答案：
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°
求证：OC=OD
解析：
☆☆例7．△ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，
CG⊥AB垂足分别是E、F、G．
试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想．
思路点拨：寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径．
解析：
方法一：（截长法）
总结升华（其他方法）：
．
引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明．
解析：
举一反三：
【变式】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．
（一）探索三角形全等的条件：
（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：
①
；②
；③ ；④ ．
（2）直角三角形的全等的条件：除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边判别方法，即 ．
（二）判别两个三角形全等指导：
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
（三）经验与提示：
（1）寻找全等三角形对应边、对应角的规律：
①全等三角形对应角所对的边是
，两个对应角所夹的边是
．
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
③有公共边的，
一定是对应边．
④有公共角的，
一定是对应角．
⑤有对顶角的，
是对应角．
⑥全等三角形中的最大边（角）是
，最小边（角）是
．
（2）找全等三角形的方法：
①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形．
（3）证明线段相等的方法：
①
；
②
；
③
；
④
（即要证a=b，只需证a=c，c=b即可）．
随着知识深化，今后还有其它方法．
（4）证明角相等的方法：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
；
三角形的外角等于与它不相邻的
．随着知识的深化，今后还有其它的方法．
（5）证垂直的常用方法法：
①
；
②
；
③若三角形的两锐角互余，则
；
④垂直于两条平行线中的一条直线，也
；
⑤证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；
⑥邻补角的平分线
．
（6）全等三角形中几个重要结论
①全等三角形对应角的平分线_______________；
②全等三角形对应边上的中线_______________；
③全等三角形对应边上的高__________________．
（四）知识的应用：
（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数．
（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等．
（3）用全等三角形测量距离的步骤：
①先明确要解决什么实际问题；
②选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；
③说明理由．
（五）注意点：
（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置．
（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条______．
（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系．
（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由．
（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”．
（六）数学思想方法：
（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等．
（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题．
（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等．
