2 2
2 2 2
§17．1
勾股定理
一、教学目标
．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学 习。
二、重点、难点
．重点：勾股定理的内容及证明。
．难点：勾股定理的证明。
三、过程
探究活动一：
画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长。你发 现了什么？
你是否发现 3 +4 与 5 的关系？
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
探究活动二：
探究等腰直角三角形的情况
观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
B
Ⅲ
Ⅱ
B
Ⅱ
Ⅲ
C
Ⅰ
A
C
Ⅰ
A
正方形Ⅰ的面积
正方形Ⅱ的面积
正方形Ⅲ的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积） 较大的图
较小的图
思考：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？ （2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
2 2 2
2 2 2
探究活动三：
由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性 质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
B
Ⅲ
B
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
C A
Ⅰ
C A
Ⅰ
思考：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？ 正方形Ⅰ的面积 正方形Ⅱ的面积 正方形Ⅲ的面积 （单位面积） （单位面积） （单位面积）
较大的图
较小的图
（2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
由上面的例子，我们猜想：
命题 1 ： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a +b =c
证一证
命题 1 的证明方法有多种
方法一：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明.（图一）
c b
a
c
b
a
大正方形的面积可以表示为 还可以表示为
a
c
b
a
b c
结论：
图一
b
a
方法二：
a
c
大正方形的面积可以表示为
c
b
还可以表示为
b
c
结论：
c
a
a
b
2 2 22 2 22
2 2 2
2 2 2
2 2 2
我国古图代二学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦” .
因此就把命题 1 称为勾股定理 .
弦
勾
股
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
a +b =c
推理格式： ∵ △ABC 为直角三角形
A
∴ AC +BC =AB .
（或 a +b =c ） b
c
例题学习
求直角△BCD 中未知边的长.
D
13
C
x
3
C a
B
A
4
B
四 、勾股定理的应用
例题 1、求下列直角三角形中未知边的长。
3
x
8
17
16
x
4
x
20
例题 2、实际问题：
将长为 13 米的梯子 AB 斜靠在墙上，BC 长为 5 米，求梯子上端 A 到墙的 底端 C 的距离 AC.
A
B C
五、小结：
1、本节课你学到了什么？
b 1
b 1
2、你学到的知识有什么作用？ 六、随堂练习
1．在 Rt?ABC 中， ?C ?90?
， ?A 、 ?B 、 ?C 的对边分别为 a
、 b
和 c
⑴若 a ?2
， b ?4
，则 c
=
； 斜边上的高为 .
⑵若 b ?3
， c ?4
，则 a
= . 斜边上的高为 .
⑶若
?3
，且 c ?2 10 ，则 a
=
， b ?_______
.斜边上的高为 .
⑷若 ? ，且 a ?3 3 ，则 c c 2
=
， b ?_______
.斜边上的高为 .
2．正方形的边长为 3，则此正方形的对角线的长为
.
3．正方形的对角线的长为 4，则此正方形的边长为
.
4．有一个边长为 50
dm
的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多
长（结果保留整数）
5．一旗杆离地面 6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，求旗杆折断之前有多高？
6.如图，一个 3m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5m ，如果梯 子顶端 A 沿墙下滑 0.5m ，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？
7.我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，请你在数轴上画出表示 13 的点。
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
§17．2 勾股定理的逆定理
一、教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解解综合题目。
三、勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足，两边的平方和等于第三边的平方，即 a +b =c ，则 这个三角形是直角三角形。
四、应用举例
例 1 已 知 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 满 足 a +b +c +338=10a+24b+26c.
试判断△ABC 的形状.
.
例 2 已知：如图，四边形 ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形 ABCD 的面积。
A
D
B
例 3 已知：如图， eq \o\ac(△,在)ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD 求证：△ABC 是直角三角形.
E
=AD·BD.
C
C
五、小结：
本节课你学到了什么？
你学到的知识有什么作用？ 六、随堂练习
B D A
1．若△ABC 的三边 a、b、c，满足 （a－b）（a ＋b －c ）=0 ， eq \o\ac(△,则)eq \o\ac(△, )ABC 是（ ） A．等腰三角形；
．直角三角形；
．等腰三角形或直角三角形；
．等腰直角三角形.
22 22
2 2 2
2
2
2
2
2
14
2．若△ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：
2
，试判 eq \o\ac(△,断)ABC 的形状.
3．已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= 且 AB⊥BC.
3 13
，CD= ，AD=3， 4 4
D
求：四边形 ABCD 的面积 .
A
B C
4．已知：在△ABC 中，CD⊥AB 于 D ，且 CD 求证：△ABC 中 AC⊥BC.
=AD·BD.
5．若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a +b +c +50=6a+8b+10c， eq \o\ac(△,求)ABC 的面积.
6．在△ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm. 求证：△ABC 是等腰三角形.
7．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC
=AE
+CE .
求证：AB
=AE
+CE
2
.
A
E
B D C
8．已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1 ，c= ，试判 eq \o\ac(△,定)ABC 的形状.
