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新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案
勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、教学重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
222222222222，，5的关系，即3+4你是否发现3+4=13与5=5的关系，5+12+12和13222。弦+股 那么就有勾=对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积） P
ABE．
图1
图2
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，
那么 。
四、合作探究：
方法1：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、CD
∠C的对边为a、b、c。
222。b a求证：=c＋分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S+S=S a大正△小正bcBA．
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1224×ab＋（b－a）=c，化简可证。
2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
方法2:已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
222。b 求证：a=c＋分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
12 cab＋左边S=4×bbaa 2
caa2 a+b）右边S=（acbc 左边和右边面积相等，即1c22 ）=（a+b4×ab＋ccbbbc 2a 化简可证。abab 五、课堂小结
题 P28页习题第1六、作业
七、教学反思 勾股定理（二） 一、教学目标 ．会用勾股定理进行简单的计算。1 ．树立数形结合的思想、分类讨论思想。2 二、重点、难点 ．重点：勾股定理的简单计算。1 ．难点：勾股定理的灵活运用。2 三、课堂引入学习勾股定理重在复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
应用。
四、合作探究ACABBCABCD 、问题（1）在长方形、中大小关系？ 所示．2）一个门框的尺寸如图1（ 米的薄木板，问怎样从门框通过？米，宽0.8①若有一块长3 1.5米呢？②若薄木板长3米，宽 米呢？为什么？3米，宽2.2③若薄木板长 C
2m
A
B
m1．
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ABAOAO的距离为米长的梯子上，这时，斜着靠在竖直的墙例：如图2，一个32.5米．
BO多少米？①求梯子的底端 距墙角AC.
米至沿墙下滑0.5②如果梯的顶端算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
A
A
CB O C
D
D
B
O
O
五、课堂小结
5题页习题第六、作业 P282、
七、教学反思
勾股定理（三） 一、教学目标 1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点 ．重点：勾股定理的综合应用。1 ．难点：勾股定理的综合应用。2 三、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
四、合作探究：进一步体会数轴上的点利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，分析：OA=OB 与实数一一对应的理论。如图，已知， 所表示的数。A说出数轴上点 (1)．
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8 作出）在数轴上对应的点？（2B 1OA3-4210-1-3-2
变式训练：在数轴上画出表示的点。
2,2?3?1五、课堂小结
六、作业 P28页习题第6题
七、教学反思
勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
四、合作交流：
a222cbc?b?aABCABC试证明△、、满足，，如图1、17.2-2若△的三边长是直角三角形，请简要地写出证明过程．
图17.2-2
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角 形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。．
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⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边AB=c，则通过11三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（1）什么叫互为逆命题
。
（2）什么叫互为逆定理
。
（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __
3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（1） 两直线平行，内错角相等；
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
bca组成的三角形是不是直角三角形：、 ：判断由线段例1、a?15,b?8,c?17a?13,b?14,c?15． （； （1）2）a?7,b?24,c?25a?1.5,b?2,c?2.5；）（3 ）（4；
五、课堂小结
六、作业 P34页习题第1题
七、教学反思
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勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、课堂引入
创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
四、自学展示:
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
DA求：四边形ABCD的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 EDBABD≌△AB，连结BD，则可以证明△分析：⑴作DE∥CBE ASA）；（54、中，3、DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC⑵；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角BC为直角三角形，DE⊥勾股数，△DEC 形的面积。
五、合作探究“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿2 例N“海天”海里，“远航”号每小时航行16一固定方向航行，
R30海里，它们离开港口一个半小时后相距号每小时航行12S“海天”号沿东北方向航行，能知道海里．如果知道“远航”Q 号沿哪个方向航行吗？E 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形；； QR=30⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，222222 的逆定理，知∠QPR=90°；=QR24⑷因为，+18=30根据勾股定理，PQ+PR
∠QPS=45°。PRS=⑸∠∠QPR- 六、课堂小结 让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
题 P34页习题第3作业七、
八、教学反思
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勾股定理复习（一） 教学目标. 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用 一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，本章后半部分学并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途； 习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：对于任意的直就是说，_______的平方．______(1)直角三角形两直角边的和等于 ，那么一定有：，斜边为c角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b 这就是勾股定理．是解决有关线段计算问题的___之间的数量关系，(2)勾股定理揭示了直角三角形 重要依据．222222222222a?,ba?b?a?cabc?bb,c?c?a,c? ,．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形 面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.勾股定理逆定理”“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.为根据边的..这一命题是勾股定理的逆定理它可以帮助我们判断三角形的形状利用已知三.关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法222由勾股定理a,b的直角三角形，=c)，角形的边a,b,c(a+b先构造一个直角边为. ”证明两个三角形全等，证明定理成立进而通过“证明第三边为c,SSS 勾股定理的作用：3. ）已知直角三角形的两边，求第三边；(1n（n）在数轴上作出表示为正整数）的点． (2勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角．
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利从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：形，还可以判定哪一个角是直角， 用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．222ca?b?，则三角形(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若?22222cb?b?ca?a?，则三，则三角形是锐角三角形；若是直角三角形；若 角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二、合作交流：，那么这个三角形的周8cm1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和例? 长和面积分别是多少
，求证：，AD=12CD=3ABCD例2：如图，在四边形中，∠C=90°，AB=13，BC=4， BD．AD⊥
AC2.5BDCD?ABC?C?90?1.521? ，求，如图中，，，的长3例：.
C
D
1 2ABE
88cmcmcm2，一只小鸟，另一棵高如图有两棵树，一棵高例4：.，两树相距m 从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 ADECB
四、学习检测：
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( )
如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是1.11111 ，8．4，75， C．，A．724，25 B．33，4，5 D，4 22222那么斜边扩大到原来2倍，2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 4倍倍 D． B．2倍 C．3倍的( )A．1 ）12cm，其中斜边上的高为（ 3.直角三角形的两直角边分别为5cm，6030cm
．5cm C．cm D8．6cm B．．A 131322nnccannbbABCa，＝＝1＞－1，+1(4.在△＝中，三条边的长分别为，2，，，n ，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角为整数且)
，另一只朝左挖，每8cm5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 ）分钟之后两只小鼹鼠相距（ 分钟挖6cm，1080cm
140cm D．50cm B．．100cm C．A2ADABC ．＝6．等腰△3cm的面积为12cm，则它的周长为，底上的高 ABABC ，以．7．等边△为边的正方形面积为的高为3cm 。，则它的面积是 12∶13，它的周长为60cm8．一个三角形的三边的比为5∶
)
课时二勾股定理复习( 教学目标熟练应用直角三角形的勾股角之间所存在的关系，1.掌握直角三角形的边、 定理和逆定理来解决实际问题． 2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理． 重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边 ．2cm ，则斜边长为______1cm1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为， ．，则另一条边长是________________．已知直角三角形的两边长为23、210的点．．在数轴上作出表示3
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
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考点二、利用列方程求线段的长于⊥ABA，CBDAC，D为两村庄，⊥AB于1．如图，铁路上A，B两点相距25km，，使上建一个土特产品收购站ECB=10km，现在要在铁路ABB，已知DA=15km， km处？站应建在离A站多少，D两村到E站的距离相等，则E得C D
C
B A E
D米，又与公路车站（L）的距离为3002.如图，某学校（A点）与公路（直线及A米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校点）的距离为500 的距离相等，求商店与车站之间的距离．车站D
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形、83）12、13（、34、5（2）5、1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）17
15、 6，其中能够成直角三角形的有4、5、（4） 2222 . (a>b>0),若三角形的三别是2.a-b+b则这个三角形是,2ab,a
2CD?BD?AD ，求证：△且ABC为直角三角形。13.如图，在△ABC中，AD是高，
考点四、灵活变通，则边长b=10B=90°，已知a=6， a△ABC中，，b，c分别是三条边，∠Rt1.在c=
22，则以斜，72.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为8cmcm2 ．边为边长的正方形的面积为_________cm ，一只蚂蚁沿外6cm3.如图一个圆柱，底圆周长，高4cm cm BA点爬到点，则最少要爬行壁爬行，要从 ? （如图：带阴影部分的半圆的面积是 ）取34.
B
8
6
A．
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3，高是8的长方体纸箱5.一只蚂蚁从长、宽都是 点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线的A 的长是 。
cc33 其他m,一边长为m,36.若一个三角形的周长12c3m,两边之差为则这个三角形是_____________________．
米的楼梯表面铺地毯， 米，长107.如图：在一个高6则该地毯的长度至少是 米。
考点五、能力提升
1.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
1且．你能说明∠AFE是直角吗？ BC?CE 4
2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
C D
