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第十八章 勾股定理 本章小结
从容说课
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的发现．验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生对直角三角形有了更进一步的认识和理解．
为了使学生更好地认识勾股定理和它的逆定理，更好地运用他的解决实际生活中的问题，通过回顾已学过的知识，加强对勾股定理及逆定理的理解和应用．
在本章，数形结合的思想有较多的体现，教学中应更进一步地渗透这种思想，让学生更进一步体验从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系．
勾股定理和逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用。在本小结中应让学生更进一步体会它们在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息．进一步介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值．这一定理又导致了无理数的产生——数学历史上的第一次数学危机．
本章小结
三维目标
一、知识与技能
1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结．
2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．
3．了解勾股定理的历史．
二、过程与方法
1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法．
2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．
三、情感态度与价值观
1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．
2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量．
教学重点
1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．
2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．
教学难点
1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．
2．建立本章的知识框架图，
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、引入新课
勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到．第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．
勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．
二、回顾与思考
问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?
师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质．现在我们来回答问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．
生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．
生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第2个问题．
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．
生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．
例如：①在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝15°，根据三角形的内角和定理，可得∠A＝90°．根据定义可判断△ABC是直角三角形．
②在△ABC中．∠A＝ eq \f(1,2) ∠B＝ eq \f(1,3) ∠C，由三角形的内角和定理可知∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，所以∠A＝30°，∠B＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．
生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)．
例如：①△ABC的三条边分别为a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠B＝90°．
②△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．
师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．
生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2这个结论呢?
师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢?
生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确。但我们不可能把所有的直角三角形都拿来验证，仅此说明它正确，又不可信．接下来．我们就用先人的方法——拼图，从一般意义上证明了勾股定理：取四个全等的直角三角形，将它们拼摆，得到一个以斜边为边长的正方形，通过用两种方法表示拼出的整个图形的面积，找到相等关系，从而得到勾股定理．
师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了．掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．
问题3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它．
(这个问题可让学生在小组内先交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推荐一个最好的实例，展示给全班同学．在全班进行交流)
生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米／时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD＝100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点?
解：根据题意可知AD⊥BC．
在Rt△ABD中，AB＝260千米，AD＝100千米，AB2＝AD2＋BD2，所以BD2＝AB2－AD2＝2602－1002＝2402，BD＝240千米．则台风中心经过240千米÷15千米／时＝16(小时)从B点移到D点．
生：例如：一个长为10米的梯子斜靠在墙上．梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗?试说明理由．
解：根据题意，可知：下图中AB＝DE＝10米，AC＝8米，AD＝2米，所以DC＝8－2＝6米．
在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－82＝36，BC＝6米，在Rt△CDE中，CE2＝DC2－CD2＝102－62＝82，CE＝8米，则BE＝CE－CB＝8－6＝2米．
所以顶端向下滑动2米，底端也水平滑动2米．
师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料．现在我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧．
问题4：你了解勾股定理的史料吗?
回在上古时代，人类虽然“愚昧无知”，但是，当他们仰望苍穹时，也会引起无穷无尽的遥想，经常有人提出这样的问题：天有多高?
要是从天地的形成来解释，也是有数的，据说，天和地原先是混沌的一团，像个大鸡蛋，后来降生一个神，叫盘古，由他来开天辟地．据说“天日高一丈，地日厚一丈，盘古日长一丈，如此万八千岁……”盘古的身子每天长高一丈，一万八千年后，这个顶天立地的大汉有多高，天也就是多高了．
虽然人们竭力探索通往天庭的路径，但希望是渺茫的。
约在公元前12世纪，周朝政治家姬旦(即周公)首先考虑到确定“天高”的问题．当时，他要搞一番建设事业，需要广泛的科学技术的知识，也涉及测量问题，于是，他就把知名的学者商高找来，问道：“听说你的数学造诣很深，请你谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的?没有台阶走上天庭，也没有办法用尺子量测大地，那么，怎么知道天高地广的数呢?”
这就是数学史上有名的“周公问数”．这段话记载在《周髀算经》的首页．
昔者，周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出?”
《骨髀算经》问世至今已经两千年了．它所写的周公则是距今三千年以前的古人．他居然能够提这样大胆的设想——测天量地，实在难能可贵．不过，被问者商高也不含糊，当即胸有成竹地作出合乎科学道理的回答．
商高认为：“数之法出自圆方。”于是他联想到存在于矩之中的微妙内在关系：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．”从此建立了直角三角形中的三边关系，即勾、股、弦构成三、四、五的关系．
商高的这桩发现在数学史上形成了一个新的里程碑，是对人类处理生活和生产问题，以及加强对大自然斗争手段的重要贡献．后人在他的基础上进一步探索，终于确定了“勾股定理”：a2＋b2＝c2．式中a、b——直角三角形直角边；c——直角三角形的斜边．
商高答问的时间约在公元前12世纪，而在西方，则在公元前6世纪才由古希腊数学家毕达哥拉斯发现“毕氏定理”(即我国的“勾股定理”)．
那么，回到“天有多高”问题上来，商高用什么方法来测天量地呢?
他的主要方法就是使用直角三角形中的勾、股、弦关系，并且确信，除非数学被应用于水工技术，否则大禹是不可能战胜洪水的．
就这样，《周髀算经》提出一则“荣子与陈子的回答”的故事来具体说明商高方法的应用．
师：这位同学讲得很好．陈子测日高的方法确实是一项了不起的发明，虽然由于大地不是平的，导致所得结果的误差太大，因此用这种方法测日高是不准确的，但是，这种方法却可以用于测量高耸景物的高度和距离，陈子称自己的方法是“望远起高之术”，为后人测度“可望不可及”的景物提供极好的线索。
由于时间关系，对勾股定理的历史同学们可继续收集，交流、讨论．
三、课时小结
通过回顾与思考中的问题的交流．由同学们自己建立本章的知识结构图．
板书设计
本章小结
1．回顾与思考
问题1：直角三角形的边，角之间分别存在什么关系?
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2．
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形?
在△ABC中．①如果∠A＋∠B＝90°，则△ABC是直角三角形．②如果a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
问题3：举生活实例，用勾股定理解决它．
例1．台风问题
例2．梯子问题
问题4：勾股定理史料
2．本章知识结构图
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活动与探究
如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AD＝8cm，DC＝10cm，求EC的长．
过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一．由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DC＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6， FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．
在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系就可建立关于x的方程．解出x便求得CE．
结果：解：根据题意，得
(8－x)2＝42＋x2
所以x＝3，即CE的长为3cm．
习题详解
复习题18
1．解：两人从同一地点同时出发．10分后，一人向北直行200米，一人向东直行300米，此时，他们相距 eq \r(2002＋3002) ＝100 eq \r(13) 米．
2．解：根据题意AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(1342－772) ＝110mm．所以两孔中心的垂直距离110mm．
3．解：覆盖在顶上的塑料薄膜需
eq \r(a2＋b2) ·d＝ eq \r(32＋1.52) ×10≈33.5m2．
4．解：根据题意，设三角形的三边分别为k， eq \r(3) k，2k，( eq \r(3) k)2＋k2＝(2k)2，所以这个三角形是直角三角形．
5．(1)逆命题：同位角相等，两条直线平行．此逆命题成立；
(2)逆命题：如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，此逆命题不成立；
(3)逆命题；锐角三角形是等边三角形，此逆命题不成立；
(4)逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．此逆命题成立．
6．解：(1)四边形ABCD的面积为：
5×6－( eq \f(1,2) ×2×4＋ eq \f(1,2) ×1×5＋ eq \f(1,2) ×2×1＋ eq \f(1,2) ×1×4＋1×5)
＝30－(4＋ eq \f(5,2) ＋1＋2＋6)＝30－13－ eq \f(5,2) ＝14.5．
四边形ABCD的周长为： eq \r(22＋42)＋\r(12＋22)＋\r(12＋42)＋\r(12＋52)＝2 eq \r(5) ＋ eq \r(5) ＋ eq \r(17)＋\r(26) ＝3 eq \r(5) ＋ eq \r(17)＋\r(26)
(2)BC＝2 eq \r(5) ，CD＝ eq \r(5) ，BD＝5
(2 eq \r(5) )2＋( eq \r(5) )2＝25．
所以BC2＋CD2＝BD2．即∠BCD为直角．
7．解：设折断处离地面的高度是x尺，根据题意，得
(10－x)2＝x2＋32
解，得x＝ eq \f(91,20)；
所以折断处离地面的高度为 eq \f(91,20) 尺，
8．解：圆柱底面的周长为12πcm，则
蚂蚁从A点爬到B点的最短路程＝ eq \r((6π)2＋102) ≈14.6cm．
9．解：根据题意长方体的斜对角线的长度＝ eq \r(302＋402＋502) ≈70.7cm．
70cm＜70.7cm．
所以一根70cm长的木棒，可以放在长、宽、高分别是30cm、40cm、50cm的长方体木箱中。
